จากการใช้เวลาว่างให้เกิดประโยชน์ของผมนั้น ได้ทำการคิดวิเคราะห์สูตรในการแก้ปัญหาโจทย์ลำดับเลขคณิตสองชั้น หรือสูตรในการหาพจน์ทั่วไปกรณีที่ d ไม่เท่ากัน จริง ๆ แล้วมันก็แค่ความสงสัยและความขี้เกียจของตัวผมเอง ที่อยากจะแทนค่าลงไปในสูตรแล้วก็ได้ผลลัพธ์ออกมาเลย 😅 แหะ ๆ ที่มาของสูตร ก่อนอื่นเลยเรามาดูที่มาของสูตรกันก่อน เพราะการที่เราจะใช้สูตรใด ๆ ก็ตาม เราจำเป็นที่จะต้องพิสูจน์ซะก่อนว่า สูตรนั้นเป็นจริงหรือไม่ ผมกำหนดให้ A = {a1, a2, a3, ...} เป็นลำดับเลขคณิต และกำหนดให้ B = {x1, x2, x3, ...} โดยที่ x ที่ n เป็นระยะห่างระหว่าง a ที่ n กับ a ที่ n+1 เมื่อ n = 1, 2, 3, ... (เช่น x1 เป็นระยะห่างระหว่าง a1 กับ a2 หรือ a2 - a1 = x1)และกำหนดให้สมาชิกในเซต B มีระยะห่างเท่า ๆ กัน คือ L การพิสูจน์ การที่เราจะหาพจน์ต่าง ๆ ของเซต A หรือหา an ได้นั้น เราจะใช้ผลรวมเลขคณิตในการหาพจน์ต่าง ๆเนื่องจากว่าa2 - a1 = x1 a2 = a1 + x1a3 - a2 = x2 จะได้ว่า a3 = a2 + x2 หรือ a3 = a1 + x1 + x2a4 - a3 = x3 a4 = a3 + x3 หรือ a4 = a1 + x1 + x2 + x3... ...an - a(n-1) = x(n-1) an = a(n-1) + x(n-1) หรือ an = a1 + x1 + x2 + x3 + ... + x(n-1)ดังนั้นเราจะสามารถหาพจน์ทั่วไปของเซต A หรือหา an นั้น ได้จากสูตร an = a1 + S(n-1) เมื่อ S(n-1) = x1 + x2 + x3 + ... + x(n-1)เนื่องจาก S(n-1) หรืออนุกรมเลขคณิต มีสูตรคือดังนั้นเราจะใช้สูตรอนุกรมเลขคณิตในการหาผลรวมจาก x1 จนถึง x(n-1)จาก x1 + x2 + x3 + ... + x(n-1) จะได้ว่า และเราจะหาพจน์ x(n-1) จากสูตรของลำดับเลขคณิต นั่นคือ จะได้ว่า เมื่อ L คือระยะห่างระหว่าง xn และ x(n-1)จากนั้น เมื่อเรานำสูตรของ x(n-1) แทนในสูตร S(n-1) และนำ S(n-1) ไปแทนในสูตร an = a1 + S(n-1) แล้วนั้น จะได้ว่า สรุปสูตรเรามาลองยกตัวอย่างกันหน่อยดีกว่าผมกำหนดลำดับเลขคณิตดังนี้ 3, 4, 6, 9, 13, ... จงหาพจน์ที่ 10 จากโจทย์ข้อนี้เราสามารถเขียนระยะห่างของแต่ละตัวเลขได้ดังนี้จากรูปภาพข้างต้น จะทราบว่า a1 = 3 , x1 = 1 และ L = 1เมื่อแทนค่าลงในสูตรที่คิดขึ้นมาแล้วนั้น จะได้ว่าเราก็จะได้คำตอบออกแล้วเป็นที่เรียบร้อยนะครับผม ขอบคุณครับภาพปกทำเองจาก Canva.comภาพที่ 1 โดย geralt จาก Pixabay.comภาพที่ 2 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 3 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 4 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 5 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 6 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 7 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 8 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 9 ทำเองจากโปรแกรม Math typeภาพที่ 10 ทำเองจากโปรแกรม Math type เปิดประสบการณ์ความบันเทิงที่หลากหลายสุดปัง บน App TrueID โหลดเลย ฟรี !